定义
对于 $f(z)=u+vi$ 的积分 $\displaystyle\int_{C}f(z),\mathrm{d}z$ 以及环积分 $\displaystyle\oint_{C}f(z),\mathrm{d}z$ 类似于实平面上的 曲线积分 > 第二型曲线积分
$$\int_{C}f(z),\mathrm{d}z=\lim_{ n \to \infty } \sum_{k=1}^{n} f(\zeta_{k})\Delta z_{k}=\lim_{ n \to \infty } S_{n}$$
可积
- 【充分判定】 $f(z)$ 在按段光滑曲线 $C$ 上连续
求积
化实法
$$ \int_{C} f(z) ,\mathrm{d}z=\int_{C} u(x,y),\mathrm{d}x-v(x,y),\mathrm{d}y+i \int_{C} v(x,y),\mathrm{d}x + u(x,y),\mathrm{d}y $$
并非严谨推导，以下是黎曼和的等效助记形式推导
$$\begin{align} \int_{C}f(z),\mathrm{d}z & = \int_{C} (u+vi),\mathrm{d}(x+yi) \ & = \int_{C} (u+vi),(\mathrm{d}x+i\mathrm{d}y) \ & = \int_{C} ( u,\mathrm{d}x+iu,\mathrm{d}y+iv,\mathrm{d}x-v,\mathrm{d}y ) \ & = \int_{C} u,\mathrm{d}x - v,\mathrm{d}y + i \int_{C} v,\mathrm{d}x+u,\mathrm{d}y \end{align}$$
严谨推导请用黎曼和
化参法
把 $f(z)=u+vi$ 参数化有 $$ \int_{C}f(z),\mathrm{d}z = \int_{C} f\left[ z(t) \right] \cdot z’(t) , \mathrm{d}t $$