零点
$z=z_{0}$ 是 $f(z)$ 的 $m$ 阶零点 $\Leftrightarrow$ $$ f(z)=(z-z_{0})^{m}\varphi(z) $$ 其中
- $\varphi(z)$ 在邻域 $N(z_{0},\delta)$ 解析
- $\varphi(z_{0})\ne 0$
奇点
graph LR
奇点 ---> 可去奇点
奇点 ---> 极点
奇点 ---> 本性奇点
| 奇点类型 | 洛朗级数特征 | 极限特征 |
|---|---|---|
| 可去奇点 | 无负数幂 | $\lim_{ z \to z_{0} }f(z)=c$ |
| $m$ 阶极点 | 有最高 $-m$ 次幂 | $\lim_{ z \to z_{0} }f(z)=\infty$ |
| 本性奇点 | 有无穷负次幂 | $\lim_{ z \to z_{0} }f(z)$ 不存在 |
极点
洛朗形式
$z=z_{0}$ 是 $f(z)$ 的 $m$ 阶极点 $\Leftrightarrow$ $$ f(z)=a_{-m}(z-z_{0})^{-m} + \dots + a_{0} + a_{1}(z-z_{0}) + \dots + z_{n}(z-z_{0})^{n} $$
因式形式
$z=z_{0}$ 是 $f(z)$ 的 $m$ 阶极点 $\Leftrightarrow$ $$f(z)=\frac{1}{(z-z_{0})^{m}}g(z)$$ 其中
- $g(z)$ 在 $N(z_{0}, \delta)$ 解析
- $g(z_{0})\ne0$
因式形式の隐晦性
不能直接根据因式形式の表面形式判断极点阶数 e.g. $$f(z)=\frac{\cos z - 1}{z^{4}}$$ 的极点 $z=0$ 并非 4 阶而是 2 阶 原因如下
- $g(z)=1-\cos z$ 不满足 $g(0)\ne 0$
- 由于$$\begin{align} f(z) & = z^{-4} \left( 1 - \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{4}}{4!} + \dots - 1 \right) \ & = -\frac{1}{2!}z^{-2} + \frac{1}{4!} - \dots \end{align}$$ 所以实际上 $z=0$ 是 2 阶极点
零极关系
$z_{0}$ 是 $\frac{1}{f(z)}$ 的 $m$ 阶零点 $\Leftrightarrow$ $z_{0}$ 是 $f(z)$ 的 $m$ 阶极点
孤立奇点
- 【定义法】$z=z_{0}$ 在邻域 $\lim_{ \delta \to 0 }N(z_{0},\delta)$ 不存在其他极点
- 【极限法】$z=z_{0}$ 是解析函数 $f(z)$ 的一个奇点序列的极限
非孤立奇点の例子
考虑 $$f(z)=\sin\frac{\pi}{z}$$ 易得 $z=0$ 是 $f(z)$ 一个奇点 又 $f(z)$ 存在极点序列 $z_{k}=\frac{1}{k}$ 其极限为 $\lim_{ k \to \infty }\frac{1}{k}=0$ 所以 $z=0$ 是 $f(z)$ 的非孤立奇点
无穷孤立奇点
若 $z=\infty$ 是 $f(z)$ 的孤立奇点，则 $f(z)$ 有无穷孤立奇点
判断无穷孤立奇点の阶数：
- 令 $\zeta=\frac{1}{z}$
- 研究 $f(\frac{1}{\zeta})$ 在 $\zeta = 0$ 的奇点阶数
- 即为无穷孤立奇点阶数