柯西积分理论

复合闭路定理

已知

$f(z)$ 在 $D\cup \partial D$ 上解析则 $$ \oint_{\partial D}f(z),\mathrm{d}z = 0 $$ 若 $\partial D$ 由 $C_{0}, C_{1},\dots, C_{n}$ 构成，其中 $C_{1}, \dots, C_{n}$ 在 $C_{0}$ 内部 $$ \partial D = C_{0} + C_{1}^{-}+\dots+C_{n}^{-} $$ 则 $$ \oint_{C_{0}}f(z),\mathrm{d}z=\sum_{k=1}^{n} \oint_{C_{k}} f(z),\mathrm{d}z $$

柯西积分定理 & 复合闭路定理

柯西积分定理只适用于单连通区域

复合闭路定理适用于多连通区域

复合闭路定理是柯西积分定理的拓展

已知

$f(z)$ 在 $D\cup \partial D$ 上解析
$z_{0}\in D$ 则 $$ f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_{0}},\mathrm{d}z $$

Note

若 $z_{0}\notin D$

则 $\frac{f(z)}{z-z_{0}}$ 在 $D$ 上无瑕点

所以 $$\oint_{C} \frac{f(z)}{z-z_{0}},\mathrm{d}z=0$$

已知

$f(z)$ 在 $D\cup \partial D$ 上解析
$z_{0}\in D$ 则 $$ f^{(n)}(z_{0})=\frac{n!}{2\pi i} \oint_{\partial D} \frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}},\mathrm{d}z $$

Note

若 $z_{0}\notin D$

则 $\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}$ 在 $D$ 上无瑕点

所以 $$\oint_{\partial D} \frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}},\mathrm{d}z=0$$