复变函数

留数

定义

已知 $z=z_{0}$ 是 $f(z)$ 的孤立奇点，则该奇点的留数为 $$ \mathrm{Res}[f(z),z_{0}]=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C} f(z),\mathrm{d}z $$ 其中 $C$ 是包围 $z=z_{0}$ 的任意简单闭曲线

运算

  1. 【定义法】$$\mathrm{Res}[f(z), z_{0}]=\frac{1}{2\pi i} \oint_{C}f(z),\mathrm{d}z$$
  2. 【洛朗法】$$\mathrm{Res}[f(z),z_{0}]=a_{-1}$$
  3. 【微分法】若 $z=z_{0}$ 是 $f(z)$ 的 $m$ 阶极点 $$\mathrm{Res}[f(z),z_{0}]=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{ z \to z_{0} } \frac{\mathrm{d}^{m-1}}{\mathrm{d}z^{m-1}}\left{(z-z_{0})^{m-1}f(z) \right}$$
无穷孤立奇点の留数

在以上三种方法取 $z_{0}=\infty$

然后取负/取$C^{-}$

可以理解为闭曲线 $C^{-}$ 用"外侧"才能包围无穷孤立奇点 $z=\infty$

More specifically, 再根据 留数基本定理 $$\mathrm{Res}[f(z),\infty]=-\mathrm{Res}[f(\frac{1}{z}\frac{1}{z^{2}}),0]$$

一阶极点推论

若 $z_{0}\in \mathbb{Z}$ 是 $f(z)$ 的 $1$ 阶奇点

  1. $$\mathrm{Res}[f(z),z_{0}]=(z-z_{0})f(z)$$
  2. 若 $f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$ 则 $$\mathrm{Res}[f(z),z_{0}]=\frac{P(z)}{Q’(z)}$$

留数基本定理

已知

  • $f(z)$ 在 $D$ 内有有限孤立奇点 $z_{1},z_{2},\dots,z_{n}$
  • $f(z)$ 在上述孤立奇点外处处解析 则 $$ \oint_{\partial D}f(z),\mathrm{d}z=2\pi i\sum_{k=1}^{n} \mathrm{Res}[f(z),z_{k}] $$
证明

运用 柯西积分理论 > 复合闭路定理 即可

广义留数基本定理

$f(z)$ 在 $\mathbb{Z}$ 有有限个孤立奇点(包括 $z=\infty$) $z_{1},z_{2},\dots,z_{n}$ 则 $$\sum_{k=1}^{n} \mathrm{Res}[f(z),z_{k}]=0$$

留数与定积分

!留数与定积分