定义

已知

• $\left{p_{i}\dots\right}$ 都是奇素数
• $m=\prod p_{i}$ 则

$$ \left(\frac{a}{m}\right) := \prod\left(\frac{a}{p_{i}}\right) $$

性质

0. 【互质】若 $(a,m)\neq 1$ 则 $\left( \frac{a}{m} \right)=0$

1. 【剩余最简】$$\left(\frac{a+km}{m}\right)=\left(\frac{a}{m}\right)$$

2. 【分子可分】$$\left(\frac{ab}{m}\right)=\left(\frac{a}{m}\right)\left(\frac{b}{m}\right)$$

3. 【二次剩余】若 $(a,m)=1$ 则 $$\left(\frac{a^{2}}{m}\right)=1$$

4. 【神人1】$$\left(\frac{1}{m}\right)=1$$

5. 【神人-1】$$\left( \frac{-1}{m} \right)=(-1)^{\frac{m-1}{2}}=\left{ \begin{align} & 1 & p\equiv 1 \ \mathrm{mod},4 \ & -1 & p\equiv 3 \ \mathrm{mod},4 \end{align} \right. $$

6. 【神人 2】$$\left( \frac{2}{m} \right)=(-1)^{\frac{m-1}{2}}=\left{ \begin{align} & 1 & p\equiv \pm 1 \ \mathrm{mod},8 \ & -1 & p\equiv \pm3 \ \mathrm{mod},8 \end{align} \right. $$

7. 【互反律】已知 $m,n$

   • 都是奇素数乘积
   • $(m,n)=1$

   则 $$\left(\frac{n}{m}\right)=(-1)^{\frac{m-1}{2}\cdot\frac{n-1}{2}}\left(\frac{m}{n}\right)$$