基本概念

概率密度 $f(x,y)$

分布函数 $F(x,y)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) , \mathrm{d}x , \mathrm{d}y$

边缘分布

• 离散型 $$P\left{ X < x_{i} \right} = \sum_{j=1}^{\infty} p_{i,j} $$

• 连续型 $$F_X(x)=P\left{ X < x \right}=P\left{ X < x，Y< \infty \right}=F(x,\infty)$$

条件分布

• 离散型 $$P\left{ X=x_i|Y=y_j \right}=\frac{P\left{ X=x_i,Y=y_j \right}}{P\left{ Y=y_j \right}}$$

• 连续型

  • 概率密度 $$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$

  • 分布函数 (理解为 $y=y_j$ 时关于 $x$ 的分布函数) $$F_{X|Y}(x|y)=P\left{ X\le x | Y=y \right}=\int_{-\infty}^{x} \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} , dx $$

独立变量

随机变量 $X,Y$ 相互独立 $\Leftrightarrow$

$$ F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) $$

aka

$$ f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) $$

联合分布

已知随机变量 $X,Y$

和差联合

联合随机变量 $Z=X+Y$ 满足

$$ f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,z-x) , dx =\int_{-\infty}^{\infty} f(z-y,y) , dy $$

如果 $X,Y$ 相互独立

$$ f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) , dx=\int_{-\infty}^{\infty} f_X(z-y)f_Y(y) , dy
$$

积商联合

联合随机变量 $Z=XY$ 和 $Z=\frac{Y}{X}$ 满足

$$ f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} \left|\frac{1}{x}\right|f(x,\frac{z}{x}) , dx $$

$$ f_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} \left| x \right| f(x,xz) , \mathrm{d}x $$

若 $X,Y$ 相互独立

$$ f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} \left| \frac{1}{x} \right| f_{X}(x) f_{Y}(\frac{z}{x}) , \mathrm{d}x $$

$$ f_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} \left| x \right| f_{X}(x) f_{Y}(xz) , \mathrm{d}x $$

最值联合

联合随机变量 $Z=\mathrm{max}\left{ X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} \right}$ 满足

$$ F_{max}(z)=\prod_{i=1}^{n} F_{X_{i}}(z) $$

联合随机变量 $Z=\mathrm{min}\left{ X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} \right}$ 满足

$$ F_{min}(z) = 1 - \prod_{i=1}^{n} \left[ 1 - F_{X_{i}}(z) \right] $$

函数联合

联合随机变量 $Z=f_{Z}(X, Y)$ 满足

$$ f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\left||J\right||} f(x,y(x,z)), \mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\left|\frac{ \partial z }{ \partial y } \right|}f(x,y(x,z)) , \mathrm{d}x
$$