定义

关系闭包是

1. 一个 关系 $\to$ 关系 的函数
2. 保留原关系
3. 对所有原来元素/关系拥有某种关系

数学定义：关系 $U$ 的闭包 $u(R)$ $:=$

1. $u(R)$ 满足 $U$
2. $R \subset u(R)$
3. $\forall R\subset S$ 且 $S$ 满足 $U$ $\implies$ $u(R) \subset S$

常见闭包

• 自反闭包 $r(R) = R \cup \Delta_{A}$
• 对称闭包 $s(R) = R \cup R^{-1}$
• 传递闭包 $t(R) = \bigcup_{k=1}^{\infty}R^{k}$

性质

换序

1. 交
   1. $r(R \cap S)=r(R) \cap r(S)$
   2. $s(R \cap S) \subset s(R) \cap s(S)$
   3. $t(R \cap S) \subset t(R) \cap t(S)$
2. 并
   1. $r(R \cup S)= r(R) \cup r(S)$
   2. $s(R \cup S)= s(R) \cup s(S)$
   3. $t(R \cup S) \supset t(R) \cup t(S)$

性质保持