复合

定义

$$ (g \circ f) (x) := g(f(x)) $$

性质

• 结合律 $(f\circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$
• 复合不改变 函数性质
  • 若 $f$ 和 $g$ 都是单函数 $\Rightarrow$ $f \circ g$ 也是单函数
  • 若 $f$ 和 $g$ 都是满函数 $\Rightarrow$ $f \circ g$ 也是满函数
  • 若 $f$ 和 $g$ 都是双函数 $\Rightarrow$ $f \circ g$ 也是双函数
  • $f \circ g$ 是满函数 $\Rightarrow$ $f$ 是满函数
• 【逆】已知 $f:A \to B$
  • 左逆 := $g:B\to A$ 满足 $g \circ f=\boldsymbol{\mathrm{id}}_{A}$
  • 右逆 := $g:B\to A$ 满足 $f \circ g=\boldsymbol{\mathrm{id}}_{B}$
  • $f$ 有左逆 $\Leftrightarrow$ $f$ 是单函数
  • $f$ 有右逆 $\Leftrightarrow$ $f$ 是双函数