归纳集

定义

集合 $A$ 是归纳集 := $A$ 对 $\emptyset$ 和 后继 封闭

• $\emptyset \in A$
• $a\in A \implies a^{+}\in A$

性质

1. 自然数集是最小的归纳集

有穷集

定义

集合 $A$ 是有穷集 := $\exists n\in \mathbb{N}(A \approx n)$ 反之则为无穷集

性质

1. 集合 $A$ 是无穷集 $\Leftrightarrow$ $A$ 与它的某个真子集等势
   1. 有穷集不与它的任何真子集等势
   2. 任意自然数 $n\in \mathbb{N}$ 同理不与任何真子集等势
2. 集合 $A$ 是无穷集 $\Leftrightarrow$ 存在 $\mathbb{N} \to A$ 的单函数

可数集

定义

集合 $A$ 是可数集 := $A$ 是 有穷集 $\lor$ $A\approx \mathbb{N}$ 反之则为不可数集

性质

1. 【可数集の等价定义】集合 $A$ 是可数集
   1. $\Leftrightarrow$ 存在 $\mathbb{N}\to A$ 的满射
   2. $\Leftrightarrow$ 存在 $A\to \mathbb{N}$ 的单射
   3. $\Leftrightarrow$ $A$ 与 $\mathbb{N}$ 的某个子集等势
2. 【子集维持可数】可数集的任何子集也是可数集