定义

$\mathbb{R}^{k}$ 的基底 $:=$ 一组向量

• 线性无关
• span $\mathbb{R}^{k}$

Basis Therom

已知

• 向量空间 $V$
• $\mathrm{dim}V=p$

则

1. 含有 $p$ 个向量的线性无关向量组天然是 $V$ 的一组基底
2. 含有 $p$ 个向量的张满 $V$ 的向量组天然是 $V$ 的一组基底

子空间的基底

• 零空间的基底 $\mathrm{span} \ \mathrm{Nul} \ A$ $\implies$ $\begin{bmatrix}A & \boldsymbol{0}\end{bmatrix}$ 的所有零空间解 (不是特解！)
• 列空间的基底 $\mathrm{span} \ \mathrm{Col} \ A$ $\implies$ 化成最简梯形后的主元列对应的原主元列 e.g. $A=\begin{bmatrix}1 & 2 \ 3 & 4\end{bmatrix} \xlongequal{\mathrm{row \ equiv.}} R = \begin{bmatrix}1 & 2 \0 & 1\end{bmatrix}$ 则基底是
  • ✅ $\left{ \begin{bmatrix}1\3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2\4\end{bmatrix} \right}$
  • ❎ $\left{ \begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\1\end{bmatrix} \right}$