向量投影

已知

• 投影向量 $\vec{b}$
• 被投影向量 $\vec{a}$

则

• $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影 $$\hat{b}=\hat{x}\cdot\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\vec{a}\cdot \vec{a}}\cdot \vec{a}$$

投影矩阵

$$ P=\frac{\vec{a}\cdot\vec{a}^{T}}{\vec{a}^{T}\cdot \vec{a}} $$

则 $\vec{p}=P\vec{b}$

子空间投影

向量组投影

已知

• 子空间基底 $B = \left{\boldsymbol{r}_{i} \dots\right}$
• 向量 $\boldsymbol{y}$

则 $\boldsymbol{y}$ 在 $\mathrm{span},B$ 上的投影 $\boldsymbol{\hat{y}}$ 为

$$ \boldsymbol{\hat{y}} = \sum \frac{\boldsymbol{r}{i}\cdot\boldsymbol{y}}{\boldsymbol{r}{i} \cdot \boldsymbol{r}{i}} \boldsymbol{r}{i} $$

投影矩阵

$$ P=A(A^{T}A)^{-1}A^{T} $$

其中 $A^{T}A$ 可逆当且仅当 $A$ 列满秩