线性代数

正交矩阵

定义

  1. 正交列矩阵 matrix with orthogonal columns :=
    1. $Q^{T}Q=I$ (充要)
  2. 正交矩阵 orthogonal matrix :=
    1. 正交列矩阵
    2. 方阵
    3. 可逆
    4. 列向量是单位向量

性质

  1. 【可逆】正交矩阵一定可逆，且 $Q^{T}=Q^{-1}$ aka. $Q^{T}Q=I$
  2. 【行列式】 $\det Q=\pm 1$
  3. 【不变长】
    1. $\lvert Q \boldsymbol{x} \rvert=\lvert \boldsymbol{x} \rvert$
    2. $(Q \boldsymbol{x}) \cdot (Q\boldsymbol{y})=\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y}$
  4. 正交矩阵的行也正交