线性代数

线性映射

定义

线性映射 $T:\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ 满足

  • $T(\boldsymbol{0}) = \boldsymbol{0}$
  • $T(c\boldsymbol{u}+d\boldsymbol{v})=cT(\boldsymbol{u})+dT(\boldsymbol{v})$

性质

  1. $T(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix}T(\boldsymbol{e_{1}}) & T(\boldsymbol{e_{2}}) & \dots & T(\boldsymbol{e_{n}})\end{bmatrix} \cdot \boldsymbol{x}$ 其中 $T$ 的标准矩阵 standard matrix $A:=\begin{bmatrix}T(\boldsymbol{e_{1}}) & T(\boldsymbol{e_{2}}) & \dots & T(\boldsymbol{e_{n}})\end{bmatrix}$
  2. 线性映射 $T$ 是一一映射
    • $\Leftrightarrow$ $T(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}$ 只有平凡解 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 作为唯一解
    • $\Leftrightarrow$ $T$ 的标准矩阵 $A$ 的列线性无关
  3. 线性映射 $T:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{m}$ 是满射 $\Leftrightarrow$ $T$ 的标准矩阵 $A$ 的列满足 $\mathrm{span}\left{ A \right}=\mathbb{R}^{m}$
  4. 线性映射 $T: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$ 的标准矩阵 $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$
    • $T$ 是单射 $\Leftrightarrow$ $\mathrm{rank},A=n$
    • $T$ 是满射 $\Leftrightarrow$ $\mathrm{rank},A=m$
    • $T$ 是一一映射 $\Leftrightarrow$ $\mathrm{rank},A=n=m$