关系

一元

多元

计算

1. 定点的偏导数：带入其他变量后再用极限求。 $$ f’x(0,0)=\lim{x\to 0}{\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}} $$

2. 判断在某点是否可微：

   • 全微分连续 (偏导一定是所求点的偏导值，而不是偏导函数)：$$ \lim_{\Delta x \to 0, \Delta y \to 0}{\frac{\Delta z - f’x(P{0}) \cdot \Delta x - f’y(P{0}) \cdot \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}} = 0$$
   • 偏导数连续 对于初等函数，偏导数存在就一定可微，但不一定偏导数连续 比如 $(x^2+y^2)\sin \frac{1}{\sqrt{ x^2+y^2 }}$ 在原点处就偏导数存在，可微。但是他在原点的偏导数不连续。 而且注意一定是初等函数，分段函数就不能看做初等！！ e.g. $f(x,y)=\left{ \begin{align} & \frac{\left|xy\right|^{\frac{3}{2}}}{x^2+y^2} & (x,y)\neq(0,0) \ & 0 & (x,y)=(0,0) \end{align} \right.$ 就不能看做初等函数，连续性和偏导数存在性不等同。

3. 多元函数微分：$d(f(x_{1},\dots,x_{n}))=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}},dx_{i}$