曲线

切线

参数方程

已知曲线 $$ \left{ \begin{align} x=x(t) \ y=y(t) \ z=z(t) \end{align} \right. $$ 则 $(x_{0},y_{0},z_{0})$ 处切线： $$ \frac{x-x_{0}}{x’(x_{0})}=\frac{y-y_{0}}{y’(y_{0})}=\frac{z-z_{0}}{z’(z_{0})} $$

非参方程

已知曲线 $$ \left{ \begin{align} F(x,y,z)=0 \ G(x,y,z)=0 \end{align} \right. $$ 则取微分： $$ \left{ \begin{align} F_{x},dx+F_{y},dy+F_{z},dz=0 \ G_{x},dx+G_{y},dy+G_{z},dz=0 \end{align} \right. $$ 解得（运用克莱姆法则）： $$ \left{ \begin{align} \frac{dy}{dx}=\dots \ \frac{dz}{dx}=\dots \end{align} \right. $$ 切线的法向量为 $\left( 1, \frac{dy}{dx}, \frac{dz}{dx} \right)$，切线为： $$ \frac{x-x_{0}}{dx}=\frac{y-y_{0}}{dy}=\frac{z-z_{0}}{dz} $$

法平面

已知切线： $$ \frac{x-x_{0}}{A}=\frac{y-y_{0}}{B}=\frac{z-z_{0}}{C} $$ 则发平面为： $$ A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0 $$

曲面

切平面

参数方程

已知曲面： $$ \left{ \begin{align} x=x(u,v) \ y=y(u,v) \ z=z(u,v) \end{align} \right. $$ $$ \vec{n}=\frac{D(x,y,z)}{D(u,v)}=\begin{array}{|} x-x_{0} & y-y_{0} & z-z_{0} \ x_{u} & y_{u} & z_{u} \ x_{v} & y_{v} & z_{v} \end{array} $$ 根据法向量求切平面

非参方程

已知曲面： $$ F(x,y,z)=0 $$ 则 $(x_{0},y_{0},z_{0})$ 处的切线为： $$ \frac{x-x_{0}}{F_{x}’}=\frac{y-y_{0}}{F_{y}’}=\frac{z-z_{0}}{F_{z}’} $$

法线

显然易得。