若
- $z=f(y_{1},y_{2},\dots,y_{m})$
- $y_{k}=f_{y_{k}}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$
则
$$
\frac{ \partial z }{ \partial x_k } =\sum_{i=1}^{m} \frac{ \partial f }{ \partial y_{i} } \cdot \frac{ \partial f_{y_{i}} }{ \partial x_{k} }
$$ 特别地， $$ \frac{ \partial z }{ \partial x_k }\bigg|{(\dots)} =\sum{i=1}^{m} \frac{ \partial f }{ \partial y_{i} }\bigg|{(\dots)} \cdot \frac{ \partial f{y_{i}} }{ \partial x_{k} }\bigg|_{(\dots)}
$$
【易错】 链式偏导符号の含义
链式乘积的每一项
- 都是函数对相应位置参数的求导
- 不是函数对变量的求导 / 变量对变量的求导
所以无论 $y_{i}$ 对 $x_{k}$ 的函数关系 $f_{y_{i}}$ 怎么变 $\displaystyle\frac{ \partial f }{ \partial y_i }$ 都不变，都是 $f$ 对 $y_{i}$ 位置参数的求导，而不是对 $y_{i}$ 变量的求导
例子 $z=f(x,y)\bigg|_{x=v(y)}=f(v(y),y)$ 则 $z$ 对 $y$ 的偏导
- ✔️ $z_{y}’=\frac{ \partial f }{ \partial x } \cdot \frac{ \partial v }{ \partial y }+\frac{ \partial f }{ \partial y }$
- ❎ $z_{y}’=\frac{ \partial f }{ \partial v(y) }\cdot \frac{ \partial v }{ \partial y }+\frac{ \partial f }{ \partial y }$