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🔗 真题
(2021·中山大学·高等数学I·期末考试) 证明 $\lim_{ x \to a }x^{3}=a^{3}$.
法一 不妨 $\left| x-a \right|< \frac{a}{2}$，则 $f(x)=\left| x^{2}+a^{2}+ax \right|<f\left( \frac{3}{2}a \right)=\frac{19}{4}a^{2}$. 则 $$\begin{align}\left| x^{3}-a^{3} \right|&=\left| x-a \right|\left| x^{2}+a^{2}+ax \right|\&<\left| x-a \right|\cdot \frac{19}{4}a^{2}\&<\epsilon\end{align}$$ 所以只需取 $\delta= \mathrm{min} \left{ \frac{a}{2}, \frac{4\epsilon}{19a^{2}} \right}$，即可 $\forall \epsilon>0$， $\forall \left| x-a \right|<\delta$，$\left| x^3-a^3 \right|<\epsilon$.
方法论
不必一开始就找到 $\delta$ 的取法，可以先对 $\delta$ 假设一定值(第一前提)，然后根据后续不等式找到的临界点，取假定定值与临界点的 $\mathrm{min}$ 作为 $\delta$ 的取法。
- 可以先对 $\delta$ 假设一定值(第一前提)。
- 根据 第一前提 放缩，消去 $x$，转化为 $x_{0}$ / 其他定值。
- 最终转化为 $\mathrm{const}\ \cdot \ f(\delta) < \epsilon$ 的形式得出临界点。(最好是 $f(\delta)=\delta$)
- 将 $\delta=\mathrm{min}{ 第一前提，各临界点 }$ 作为取法 （实际上是第一前提区间与各临界区间的交集，产生的 $\delta$ 取法）
现在我们再回顾真题的解答法一： 不妨 $\left| x-a \right|< \frac{a}{2}$， (第一步：第一前提) 则 $f(x)=\left| x^{2}+a^{2}+ax \right|<f\left( \frac{3}{2}a \right)=\frac{19}{4}a^{2}$. （第二步：根据第一前提放缩，向定值靠拢） 则 $$\begin{align}\left| x^{3}-a^{3} \right|&=\left| x-a \right|\left| x^{2}+a^{2}+ax \right|\&<\left| x-a \right|\cdot \frac{19}{4}a^{2}\&<\epsilon\end{align}$$ （第三步：得出临界点） 所以只需取 $\delta= \mathrm{min} \left{ \frac{a}{2}, \frac{4\epsilon}{19a^{2}} \right}$，即可 $\forall \epsilon>0$， $\forall \left| x-a \right|<\delta$，$\left| x^3-a^3 \right|<\epsilon$. （第四步：取临界点交集作为 $\delta$ 取法）