以下公式全部在 $x=0$ 处取得，省略 $\lim_{ n \to \infty }$ .

幂指对函数

$$ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots \frac{x^n}{n!} $$ $$ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\dots+(-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} $$ $$ (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\dots+\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}x^n $$

$$ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\dots+x^n $$ $$ \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\dots+(-1)^{n}x^n $$

三角函数

$$ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots+(-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $$

$$ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots+(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} $$ $$ \tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\dots+\frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n)!}x^{2n-1} $$ $$ \arcsin x=x+\frac{x^{3}}{3!}+\dots+\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1} $$ $$ \arctan x=x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\dots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} $$

衍生等价代换无穷小

用于乘积项快速代换。

下式无特殊说明均为 $x\to 0$ 时取得

幂指对

$$ \begin{align} e^x &\sim 1+x \ \

\ln(1+x)&\sim x \ \

\ln x &\sim x-1 (x\to 1) \ \

(1+x)^\alpha &\sim 1+\alpha x \ \

\sqrt{1+x} &\sim 1+\frac{1}{2}x \ \

\end{align} $$

三角

$$ x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x $$ $$ \begin{align} \sin x &\sim x-\frac{1}{6}x^3 \ \

\cos x &\sim 1-\frac{1}{2}x^2 \ \

\tan x &\sim x+\frac{1}{3}x^3 \ \

\end{align} $$