定义

$$ g(y)=\int_{a}^{+\infty} f(x,y) , \mathrm{d}x $$

审敛

一致收敛

$\forall\varepsilon>0$ $\exists N>a$ s.t. $\forall y\in Y$, $\forall A>N$ 满足 $$ \left| \int_{A}^{+\infty} f(x,y) , \mathrm{d}x \right| < \varepsilon $$ 则 $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x,y) , dx$ 在 $Y$ 上一致收敛

柯西收敛准则

$\forall \varepsilon >0$ $\exists A >N, A’>N$

• $A,A’$ 与 $y$ 无关
• 满足 $\forall y\in Y$ 都有 $$\left| \int_{A}^{A’} f(x,y) , \mathrm{d}x \right| < \varepsilon$$ 则 $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x,y) , \mathrm{d}x$ 在 $Y$ 上一致收敛

狄利克雷审敛

aka 函数单调收敛 ( $\to 0$ ) + 积分一致有界

阿贝尔审敛

aka 函数单调有界 + 积分一致收敛

性质

若

• $f(x,y)$ 在 $[a,+\infty] \times [c,d]$ 上连续
• $\int_{a}^{b} f(x,y) , \mathrm{d}x$ 对 $[c,d]$ 一致收敛 则

1. 【连续性】 $g(y)$ 在 $[c,d]$ 上连续
2. 【可积性】
   1. $g(y)$ 在 $[c,d]$ 上可积，可交换 $x,y$ 求积顺序 $$\int_{c}^{d} , \mathrm{d}y \int_{a}^{+\infty} f(x,y) , \mathrm{d}x = \int_{a}^{+\infty} , \mathrm{d}x \int_{c}^{d} f(x,y) , \mathrm{d}y $$
   2. 若 $f(x,y)$ 在求积区域 (包括无穷瑕积分の开区间) 内一致收敛，则可交换 $x,y$ 求积顺序 $$\int_{a}^{\infty} , \mathrm{d}x \int_{c}^{\infty} , \mathrm{d}y , f(x,y) = \int_{c}^{\infty} , \mathrm{d}y \int_{a}^{\infty} , \mathrm{d}x , f(x,y) $$
3. 【可微性】 若 $f_{y}(x,y)$ 也在 $[a,+\infty]\times[c,d]$ 上连续，则可交换求积&求导の顺序 $$g’(y)=\int_{a}^{b} f_{y}(x,y) , \mathrm{d}x $$