约定
$$[a,b] \times [c,d] := \left{(x,y) | a \leq x \leq b, , c \leq y \leq d \right}$$
定义
$$ g(y)=\int_{a}^{b} f(x,y) , \mathrm{d}x $$
性质
连续性
若
- $f(x,y)$ 在 $[a,b]\times[c,d]$ 上连续 则
- $g(y)=\int_{a}^{b} f(x,y) , \mathrm{d}x$ 在 $[c,d]$ 上连续 aka 满足 $\displaystyle\lim_{ y \to y_0 }g(y)=g(y_{0})$
推论
$$\lim_{ y \to y_{0} } \int_{a}^{b} f(x,y) , \mathrm{d}x = \int_{a}^{b} f(x,y_{0}) , \mathrm{d}x = \int_{a}^{b} \lim_{ y \to y_{0} } f(x,y) , \mathrm{d}x $$
i.e. 若 $f(x,y)$ 在区域连续，则积分和极限操作可以交换次序
可微性
若
- $f(x,y)$ 在 $[a,b]\times[c,d]$ 上连续 则
- $g(y)$ 在 $[c,d]$ 上连续
- $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\int_{a}^{b} f(x,y) , \mathrm{d}x =\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} f(x,y) , \mathrm{d}x $$
推论
若 $f(x,y)$ 在区域连续，则积分和对 $y$ 求导操作可以交换次序