定义

$$ \int_{a}^{b} f(x) , \mathrm{d}x $$ 其中 $\lim_{ x \to a }f(x)=\infty$

审敛

一致收敛定义判别

$\forall \varepsilon>0$ $\exists \delta_{0}$ 与 $y$ 无关，使得当 $0<\delta<\delta_{0}$ 时 $\forall y$ 满足 $$ \left| \int_{a}^{a+\delta} f(x) , \mathrm{d}x \right| < \varepsilon $$

比较审敛

已知 $(a,b]\times Y$ 上

• $\left| f(x,y) \right| < g(x)$
• $g(x)$ 连续
• $\int_{a}^{b} g(x) , \mathrm{d}x$ 收敛 则
• $\int_{a}^{b} f(x,y) , \mathrm{d}x$ 对 $Y$ 一致收敛

性质

若

• $f(x,y)$ 在 $(a,b]\times Y$ 上连续
• $\int_{a}^{b} f(x,y) , \mathrm{d}x$ 在 $Y$ 上一致收敛

则瑕积分具有以下性质

连续性

$g(y)$ 在 $Y$ 上连续

可积性

可交换求积顺序

$$ \int_{c}^{d} , \mathrm{d}y \int_{a}^{b} f(x,y) , \mathrm{d}x = \int_{a}^{b} , \mathrm{d}x \int_{c}^{d} f(x,y) , \mathrm{d}y
$$

可微性

可交换求积求导顺序

$$ g’(y)=\int_{a}^{b} \frac{ \partial f(x,y) }{ \partial y } , \mathrm{d}x $$ aka $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \int_{a}^{b} f(x,y) , \mathrm{d}x = \int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} f(x,y) , \mathrm{d}x $$