高等数学

广义积分快速审敛

原理

以好判断敛散性的低阶 $p$ 积分为基准 在瑕点&无穷区间的极限趋近中，分析与 $p$ 积分的量级关系 本质是以 $p$ 积分为比较积分的比较审敛法

比较审敛的前提

根据 五大基准广义积分 审敛的本质是比较审敛

而比较审敛要求恒正/不变号

不满足比较审敛条件的案例： $$\int_{1+\varepsilon}^{+\infty} \frac{\sin x}{\sqrt{ x }} , \mathrm{d}x $$

其中显然 $\sin x$ 符号不定

  • 使用比较审敛快速审敛 (×)
    1. $\sin x$ 有界量，省去
    2. 根据 五大基准广义积分 得到 $\int_{1+\varepsilon}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{ x }} , \mathrm{d}x$ 发散
    3. 得到原级数发散，事实错误 (×)
  • 使用 Dirichlet 审敛 (✓)
    1. $\int_{1+\varepsilon}^{+\infty} \sin x , \mathrm{d}x$ 有界
    2. $\frac{1}{\sqrt{ x }} \to 0 \ (A\to+\infty)$
    3. 由 Dirichlet 审敛得原级数收敛 (✓)

四大原则

  1. 忽略非零常数
  2. 瑕点 $\Rightarrow$ 极限趋近 (洛+泰+…)
  3. 无穷 $\Rightarrow$ 极限趋近 (抓大头)
  4. 拆区间函数同号时，同敛性质应参考正项级数

五大基准广义积分

  1. 无穷 $p$ 积分 $$\int_{a}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} , \mathrm{d}x $$

    • $p>1$ $\Rightarrow$ 收敛
    • $p\leq1$ $\Rightarrow$ 发散

  2. 瑕点 $p$ 积分 $$\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^{p}} , \mathrm{d}x $$

    • $p<1$ $\Rightarrow$ 收敛
    • $p\geq1$ $\Rightarrow$ 发散

  3. 无穷二阶 $p$ 积分 $$\int_{a}^{\infty} \frac{1}{x^{p}\ln ^{q}x} , \mathrm{d}x $$

    • $p>1$ $\Rightarrow$ 收敛
    • $p<1$ $\Rightarrow$ 发散
    • $p=1$
      • $q>1$ $\Rightarrow$ 收敛
      • $q\leq 1$ $\Rightarrow$ 发散

  4. 瑕点二阶 $p$ 积分 $$\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^{p}\ln ^{q}(x-a)} , \mathrm{d}x $$

    • $p<1$ $\Rightarrow$ 收敛
    • $p>1$ $\Rightarrow$ 发散
    • $p=1$
      • $q<1$ $\Rightarrow$ 收敛
      • $q\geq 1$ $\Rightarrow$ 发散

  5. 指数比较积分 $$\int_{0}^{\infty} x^{k}e^{-\lambda x} , \mathrm{d}x $$

    • $\lambda>0$ $\Rightarrow$ 收敛
    • $\lambda\leq 0$ $\Rightarrow$ 发散