伽玛函数

定义

$$ \Gamma(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} x^{\alpha-1} e^{-x} , dx $$

性质

• $\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$
• $\Gamma(n)=(n-1)!$ when $n\in N_+$
• $\Gamma(1)=1$
• $\Gamma(1/2)=\sqrt{ \pi }$
• 【加倍公式】$\Gamma(2x)=2^{2x-1} \frac{\Gamma(x)\Gamma\left( x+\frac{1}{2} \right)}{\Gamma\left( \frac{1}{2} \right)}$
• 【余元公式】在 $0<x<1$ 上 $$\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin \pi x}$$

B函数

定义

$$ B(p,q) = \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} , dx $$

性质

• $B(p,q)=B(q,p)$
• $B(p,q)=\frac{\Gamma(p) \cdot \Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$
  • $B(m,n)=\frac{(m-1)!(n-1!)}{(m+n-1)!}$ when $m,n\in N_+$
  • $B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\pi$