高等数学

常微分方程

一阶线性常微分方程

已知 $y’+P(x)\cdot y=Q(x)$

则 $y$ 的通解： $$ y=e^{-\int P(x) , dx }\cdot \int e^{\int P(x) , dx } \cdot Q(x) , dx $$

推导思路

两边同乘 $e^{\int P(x) , dx}$ 凑左边的 $\left( y\cdot e^{\int P(x) , dx} \right)’$，最后化简即可。

伯努利方程

已知 $y’+P(x)\cdot y=Q(x)\cdot y^{\alpha}$

则 $y$ 的通解为： $$ y^{1-\alpha}=e^{-(1-\alpha)\int P_{x} , dx }\cdot \int e^{(1-\alpha)\int P(x) , dx }\cdot(1-\alpha) Q(x) , dx $$

推导思路

  1. 两边同除 $y^{\alpha}$
  2. 换元 $z=y^{1-\alpha}$
  3. 等价于求 $\frac{1}{1-\alpha}z’+P(x)\cdot z=Q(x)$

二阶常系数线性

齐次

形式

$$ y’’+py’+qy=0 $$

解的结构

$$ y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2} $$

其中 $\frac{y_{1}}{y_{2}}\neq C$，线性无关

通解

特征方程：$r^2+p r+q=0$ 两根分别是 $r_{1}$ 和 $r_{2}$，两者相等时 $r=r_{1}=r_{2}$ 无实根时共轭复根记作 $\alpha\pm\beta i$

通解为： $$ y=\left{ \begin{align} & C_{1}e^{r_{1}x} + C_{2}e^{r_{2}x} & \Delta=p^2-4q>0 \ \ & (C_{1}+C_{2}x)e^{rx} & \Delta=p^2-4q=0 \ \ & e^{\alpha x}(C_{1}\cos\beta x+C_{2}\sin\beta x) & \Delta=p^2-4q<0 \end{align} \right. $$

非齐次

形式

$$ y’’+py+q=f(x) $$

解的结构

通解