高等数学

拉普拉斯变换

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【知乎】 常微分方程学习笔记（7）- 拉普拉斯变换 The Laplace Transform（下）

【知乎】 【积分变换】利用拉普拉斯(Laplace)变换求解微分方程

定义

$$ \mathrm{L} \left[ f(t) \right] = \int_{0}^{\infty} f(t)\cdot e^{-st} , dt $$ 其中 $s \in \mathbb{C}$

所以 RHS 构成一个关于 $s \in \mathbb{C}$ 的函数 $F(s)$

拉普拉斯变换表

  1. $L(1)=\frac{1}{s}$
  2. $L(e^{a t})=\frac{1}{s-a}$
  3. $L(t^{n})=\frac{\Gamma(n+1)}{s^{n+1}}$ 🔗伽玛函数 & B函数
  4. $L(t^{n}e^{at})=\frac{\Gamma(n+1)}{(s-a)^{n+1}}$
  5. $L(\sin at)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}$
  6. $L(\cos at)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}$
  7. $L(\sinh t)=\frac{a}{s^{2}-a^{2}}$
  8. $L(\cosh t)=\frac{s}{s^{2}-a^{2}}$
  9. $L(t\sin at)=\frac{2as}{(s^{2}+a^{2})^{2}}$
  10. $L(t\cos at)=\frac{s^{2}-a^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}}$

性质

  1. 【线性】
    1. $L\left[ k \cdot f(t) \right]=k\cdot L\left[ f(t) \right]$
    2. $L\left[ f(t) + g(t) \right] = L\left[ f(t) \right]+L\left[ g(t) \right]$
  2. 【微分】 $$L\left[ f^{(n)}(x) \right] =s ^{n}L\left[ f(t) \right]+ \sum_{i=0}^{n-1} s ^{i}f^{(n-1-i)}(0) $$
  3. 【积分】 $$L\left[ \left( \int_{0}^{t} dt \right)^{n} f(t) \right] = s^{-n} L\left[ f(t) \right] $$
  4. 【卷积】 $$L\left[ f(t) * g(t) \right] = L\left[ f(t) \right] \cdot L\left[ g(t) \right] $$
卷积

$$f(t) * g(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)g(t-\tau) , \mathrm{d}\tau $$

在信号系统中当 $t<0$ 或者 $t>t_{current}$ 时 $f(t)=g(t)=0$ 所以

$$f(t) * g(t) = \int_{0}^{t} f(\tau)g(t-\tau) , \mathrm{d}\tau $$

  1. 【位移】 若 $F(s) = L\left[ f(t) \right]$ 则 $$L\left[ e^{at}f(t) \right]=F(s-a) $$

逆变换

对着表逆推回去即可。