函数序列

1. 把函数序列看做二元函数 $f(n,x)$
2. 求极限函数 $f(\infty,x)=\lim_{ n \to \infty }f(n,x)$
3. 找间断点，满足以下相互等价条件
   1. 【本质】$f(n,x)$ 在点 $(\infty,x_{0})$ 处不连续
   2. 【找点】$\lim_{ x \to x_{0} }\lim_{ n \to \infty }f(n,x)\neq \lim_{ n \to \infty }\lim_{ x \to x_{0} }f(n,x)$ 相当于 3.3 找路径 $x=x(n)$ 时取两个折线路径进行必要性探路
   3. 【证明】$\lim_{ x = x(n),n\to \infty,x\to x_{0} }f(n,x)$ 不定
4. 断点在 $D$ 位置
   • 在区间内/区间边界 (包括开区间边界) $\Rightarrow$ 证不一致收敛
     1. 构造点列 (同 3.3)
     2. 余项不趋近于 $0$
     3. 柯西审敛
   • 不在区间内 $\Rightarrow$ 证一致收敛
     1. 夹逼定理

函数项级数

1. 能求部分和序列封闭形式 $\Rightarrow$ 同 函数序列
2. 不能求部分和序列封闭形式
   • 证一致收敛
     1. $\exists N=N(\varepsilon)$
     2. 强级数审敛 (比较审敛) (要求正项或绝对项)
     3. Dirichlet
     4. Abel
   • 证不一致收敛
     • 找点
       • $\lim_{ x \to x_{0} }\sum f(n, x;a_{n}) \neq \sum a_{n}\lim_{ x \to x_{0} }f(n,x;a_{n})$
     • 证点
       1. 构造点列 $x_{n}$ 使得级数发散
       2. 通项不收敛于 $0$
       3. 柯西审敛

广义积分

• 证一致收敛
  1. $\exists X=X(\varepsilon)$ 或者 $\exists\delta=\delta(\varepsilon)$
  2. 强级数 (要求正项或绝对项)
  3. Dirichlet
  4. Abel
• 证不一致收敛

  • 找点 $$\lim_{ y \to y_{0} } \lim_{ b \to b_{0} } \int_{a}^{b} f(x,y) , \mathrm{d}x \neq \lim_{ b \to b_{0} } \int_{a}^{b} \lim_{ y \to y_{0} } f(x,y) , \mathrm{d}x $$

  • 证点 0. 【原理 | 余项不趋于 $0$】找 $y_{0}\in Y \cap \partial Y$ 使得 - 无穷积分 $$\lim_{ y \to y_{0} }\left|\int_{A}^{+\infty} f(x,y) , \mathrm{d}x \right|= k \neq 0 $$ - 瑕积分 $$\lim_{ y \to y_{0} } \left|\int_{a}^{A} f(x,y) , \mathrm{d}x \right|=k \neq 0$$ 其中 $k$ 与 $A$ 无关

    1. 【换限】 ⭐️
       1. 把参数 $y$ 通过换元放到积分限上得到 $$\int_{A}^{A+P} f(x,y) , \mathrm{d}x \xlongequal{u=u(x,y)} \int_{l(A,y)}^{L(A,y)} g(u) , \mathrm{d}u $$
       2. 令 $y$ 趋近于不一致连续点
       3. 得到积分值不趋于 $0$
    2. 【换序】$\exists l$ 使得 $\forall N$ $\exists A>N,y_{0}\in Y$ 有 $$\left|\int_{A}^{+\infty} f(x,y_{0}) , \mathrm{d}x \right| > l \nrightarrow 0$$
    3. 【分部积分】
    4. 【求原函数后检查连续性】