定义
级数各项可正可负可为零，记作 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$
绝对值级数
一个任意项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ 的绝对值级数是
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \left| u_{n} \right|
$$
收敛
任意项级数有两种收敛
- 绝对收敛
- 条件收敛
| 任意项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ | 对应绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left| u_{n} \right|$ | 原级数收敛性 |
|---|---|---|
| 收敛 | 收敛 | 绝对收敛 |
| 收敛 | 发散 | 条件收敛 |
收敛性质
- $\sum_{n=1}^{\infty} \left| u_{n} \right|$ 收敛 $\implies$ $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ 收敛
- $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ 发散 $\implies$ $\sum_{n=1}^{\infty} \left| u_{n} \right|$ 发散
- 绝对收敛+绝对收敛=绝对收敛
- 绝对收敛+条件收敛=条件收敛
- 条件收敛+条件收敛=绝对/条件收敛
- 比值审敛/根植审敛下，绝对值级数发散 $\implies$ 任意项级数发散 否则无法判定
审敛
$$\sum_{k=1}^{m} \alpha_{m}\beta_{m}=\sum_{k=1}^{m-1} (\alpha_{k}-\alpha_{k+1})B_{k}+\alpha_{m}B_{m}$$
其中 $$B_{n}=\sum_{k=1}^{n} \beta_{k} $$
已知
- 数组 $\left{ a_{n} \right}$ 单调
- $\left| B_{k} \right|=\left| \sum_{i=1}^{k} \beta_{i} \right| \leq M$
则有不等式 $$\sum_{k=1}^{m} \alpha_{k}\beta_{k}\leq M(\left| a_{1} \right| +2\left| a_{m} \right| )$$
由阿贝尔变换式： $$\begin{align} \left| \sum_{k=1}^{m} \alpha_{k}\beta_{k} \right| & =\sum_{k=1}^{m-1} \left| \alpha_{k}-\alpha_{k+1} \right| \cdot \left| B_{k} \right| + \left| a_{k} \right| \left| B_{k} \right| \ & \leq M \sum_{k=1}^{m-1} \left| \alpha_{k}-\alpha_{k+1} \right| + M \cdot \left| a_{m} \right| \end{align}$$
又因为 $\left{ a_{k} \right}$ 单调 $$\begin{align} \sum_{i=1}^{m-1} \left| \alpha_{k}-\alpha_{k+1} \right| & = \left| \sum_{i=1}^{m-1} \left( \alpha_{k} - \alpha_{k+1} \right) \right| \ & = \left| \alpha_{1} - \alpha_{m} \right| \ & \leq \left| \alpha_{1} \right| + \left| \alpha_{m} \right| \end{align}$$
所以 $$\begin{align} 原式 & \leq M(\left| \alpha_{1} \right| +\left| \alpha_{m} \right| )+M \left| a_{m} \right| \ & = M(\left| \alpha_{1} \right| + 2 \left| \alpha_{m} \right| ) \end{align}$$
狄利克雷审敛
已知
- 【序列单调收敛】 $\left{ a_{k} \right}$ 单调 且 $\lim_{ n \to \infty }a_{n}=0$
- 【级数一致有界】 $\left| \sum_{k=1}^{n}b_{k} \right| \leq M$
则 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{k}b_{k}$ 收敛
莱布尼茨审敛 是 狄利克雷审敛 の 特例
令 $b_{k}=(-1)^{k-1}$ の 狄利克雷 = 莱布尼茨
阿贝尔审敛
已知
- 【序列单调有界】 数列 $\left{ a_{k} \right}$ 单调有界
- 【级数一致收敛】级数 $\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}$ 收敛
则 $\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}b_{k}$ 收敛