高等数学

函数项级数

定义

定义在区间 $I$ 上，$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)$

一致收敛

函数序列の一致收敛

定义

记 $f(x)=\lim_{ n \to \infty }f_{n}(x)$

则若 $\forall\varepsilon$ $\exists N$ s.t. $\forall n>N$, $\forall x \in X$ 满足 $$ \left| f_n(x) - f(x) \right| < \varepsilon $$ 则称 函数序列 $\left{ f_{n}(x) \right}$ 在 $X$ 上一致收敛于 $f(x)$

审敛

  1. 【放缩】 若存在数列 $\left{ a_{n} \right}$ 满足 $\forall x \in X$, $\forall n \geq N$
    1. $\left| f_{n}(x) - f(x) \right| \leq a_{n}$
    2. $a_{n} \to 0 \ (n \to \infty)$ 则 $\left{ f_{n}(x) \right}$ 在 $X$ 上一致收敛于 $f(x)$
  2. 【序列反例】 若 $\exists l >0$ 以及 $\exists \left{ x_{n} \in X \right}$ 满足 $\forall n \geq N$ $$\left| f_n(x_n) - f(x_{n}) \right| \geq l$$ 则$\left{ f_{n}(x) \right}$ 在 $X$ 上不一致收敛于 $f(x)$
  3. 【极限反例】 若存在点列 $\left{ x_{n} \right}$ 使 $$\left[ f_{n}(x_{n}) - f(x_{n}) \right] \to k \neq 0 \ (n \to \infty)$$ 则$\left{ f_{n}(x) \right}$ 在 $X$ 上不一致收敛于 $f(x)$

性质

  1. 【几何意义】 $f_n(x)$ 收敛于 $f(x)$ 的带状区域中
  2. 【逐项可积】
  3. 【逐项可导】

函数项级数の一致收敛

定义

函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的部分和 $S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}u_{k}(x)$ 在 $X$ 上一致收敛

则称函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 一致收敛

审敛

  1. 【必要·一般项序列收敛于0】 若函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)$ 在 $X$ 上一致收敛，则其一般项序列 $$u_{n}(x) \rightrightarrows 0 \ (x \in X, n \to \infty)$$
  2. 【充要·柯西准则】 函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)$ 在 $X$ 上一致收敛 $\Leftrightarrow$ $\forall\varepsilon>0$, $\exists N=N(\varepsilon)$ s.t. $\forall n \geq N, p \in N,x \in X$ 满足 $$\left| \sum_{k=n+1}^{n+p} u_{k}(x) \right| < \varepsilon$$
  3. 【强级数审敛/放缩】 函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 满足
    1. $\left| u_{n}(x) \right| \leq a_{n}, , , \forall x \in X$
    2. 正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ 收敛 则 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)$ 在 $X$ 上一致收敛
  4. 【狄利克雷审敛】 = 序列单调有界 + 级数一致收敛
  5. 【阿贝尔审敛】 = 序列单调收敛 + 级数一致有界