高等数学

常见级数の封闭形式

一般项级数

展开形式 封闭形式
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$$ $$\frac{\pi^{2}}{6}$$
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$$ $$\frac{\pi^{4}}{90}$$

函数项级数

展开形式 封闭形式 收敛域
$$\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}$$ $$\frac{1}{1-x}$$ $$(-1,1)$$
$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}x^{n}$$ $$\frac{1}{1+x}$$ $$(-1,1]$$
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$$ $$-\ln(1-x)$$ $$[-1,1)$$
$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}$$ $$-ln(1+x)$$ $$(-1,1]$$
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$ $$\frac{1}{2}\ln\frac{1-x}{1+x}$$ $$(-1,1)$$
$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$ $$\arctan x$$ $$[-1,1]$$
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left( 1+\frac{1}{2}+ \dots+\frac{1}{n} \right)x^{n}$$ $$\frac{1}{1-x}\ln\frac{1}{1-x}$$ $$(-1,1)$$
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$$ $$e^{x}$$ $$\mathbb{R}$$
$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ $$\sin x$$ $$\mathbb{R}$$
$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$ $$\cos x$$ $$\mathbb{R}$$
$$\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n}$$ $$\frac{1}{(1-x)^{2}}$$ $$(-1,1)$$
$$\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)x^{n}$$ $$\frac{2}{(1-x)^{3}}$$ $$(-1,1)$$
$$\sum_{n=0}^{\infty} C_{n+\alpha}^{\alpha}x^{n}$$ $$\frac{1}{(1-x)^{\alpha+1}}$$ $$(-1,1)$$
$$\sum_{n=0}^{\infty} C_{\alpha}^{n}x^{n}$$ $$(1+x)^{\alpha}$$ $$(-1,+\infty)$$
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{n}$$ $$\frac{1}{\sqrt{ 1-x }}$$ $$(-1,1)$$
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$ $$\arcsin x$$ $$[-1,1]$$
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin ^{2}nx}{n^{2}}$$ $$\frac{1}{2}x(\pi-x)$$ $$\mathbb{R}$$
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos ^{2}nx}{n^{2}}$$ $$\frac{\pi^{2}}{6}-\frac{1}{2}x(\pi-x)$$ $$\mathbb{R}$$
系数量级 系数形式 原项 交错项 奇偶项 奇偶交错项
$$k$$ $$C_{n+k}^{k}=\frac{(n+k)\dots(n+1)}{k!}$$ $$\frac{1}{(1-x)^{k+1}}$$ $$\frac{1}{(1+x)^{k+1}}$$
$$0$$ $$1$$ $$\frac{1}{1-x}$$ $$\frac{1}{1+x}$$ $$\frac{x}{1-x^{2}}$$
$$\frac{1}{1-x^{2}}$$
$$-\frac{1}{2}$$ $$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$$ $$\frac{1}{\sqrt{ 1-x }}$$ $$\frac{1}{\sqrt{ 1+x }}$$
$$-1$$ $$\frac{1}{n}$$ $$\ln\frac{1}{1-x}$$ $$\ln\frac{1}{1+x}$$
$$\mathrm{arctanh} x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$$$$\frac{1}{2}\ln\frac{1}{1-x^{2}}$$		 $$\arctan x$$
$$-n$$ $$\frac{1}{n!}$$ $$e^{x}$$ $$e^{-x}$$ $$\sinh x$$ $$\cosh x$$ $$\sin x$$ $$\cos x$$
交错项&奇偶项の对齐
级数项 $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\sum_{n=1}^{\infty}$
交错项 $(-1)^{n}$ $(-1)^{n+1}$
奇项 $(2n+1)$ $(2n-1)$
偶项 $(2n)$