常见级数の敛散性

一般项级数

级数 级数形式 敛散性
几何级数 $$\sum_{i=1}^{\infty} q^{n}$$
$q < 1$ 收敛
$q\ge1$ 发散
$p$ 级数 $$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} $$ $p\le1$ 发散
$p>1$ 收敛
交错 $p$ 级数 $$\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n^{p}}$$ $0<p\leq 1$ 条件收敛
$p>1$ 绝对收敛
交错二阶 $p$ 级数 $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{1}{n^{p}\ln ^{q}n}$$ $p\gt1$ 绝对收敛
$p\lt1$ 条件收敛
$p=1$
$q>1$ 绝对收敛
$q\le1$ 条件收敛
交错 $k$ 阶 $p$ 级数 $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{1}{n^{p_{1}}(\ln n)^{p_2}(\ln \ln n)^{p_{3}}\dots}$$ 当 $p_{i}=1$ 时才看下一项
调和级数 $$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n} $$ 发散
交错调和级数 $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}$$ 收敛
三角级数
三角 $p$ 级数 $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n\varphi}{n^{p}}$$ $0<p\leq 1$ 条件收敛
$p>1$ 绝对收敛