定义

属于特殊的 函数项级数

函数项级数取 $u_{n}(x)=(x-x_{0})^{n}$ 得到幂级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-x_{0})^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\dots+a_{n}(x-x_{0})^{n}+\dots $$

性质

收敛性质

具有收敛半径，关于 $x=x_{0}$ 对称

收敛半径求法如下

幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}$ 的收敛半径 $R=\displaystyle\frac{1}{\rho}$

其中 $\rho$ either

• 【达朗贝尔/比值】 $$\rho=\lim_{ n \to \infty }\left| \displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right|$$
• 【柯西/根号】$$\rho=\lim_{ n \to \infty }\displaystyle\sqrt[n]{ \left| a_{n} \right| }$$

解析性质

1. 求级数 & 求积/导 の 顺序可以调换

$$ \left( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}x^{n} \right)^{(p)}=\sum_{n=1}^{\infty} (a_{n}x^{n})^{(p)} $$ $$ \int \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}x^{n} , \mathrm{d}x = \sum_{n=1}^{\infty} \int a_{n}x^{n},\mathrm{d}x $$

2. 和函数连续

运算

1. 【线性】 $$\sum_{n=1}^{\infty}(\lambda a_{n}x^{n} + \mu b_{n}x^{n})=\lambda \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}x^{n}+\mu \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}x^{n}$$
2. 【卷积】$$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}x^{n}\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \sum_{i=0}^{n} a_{i}b_{n-i} \right)x^{n}$$
3. 【恒等变形】
   1. 【位移】$$\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}x^{n} = \sum_{n=k+l}^{\infty} a_{n-l}x^{n-l}$$
   2. 【和分离】$$\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}x^{n}=\sum_{n=k}^{k+l-1} a_{n}x^{n}+\sum_{n=k+l}^{\infty} a_{n}x^{n}$$
   3. 【积分离】$$\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}x^{n}=x^{l}\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}x^{n-l}$$

和函数

求解思路：看通项

1. 若 $(an+b)^{c}$ 在分母上 $\Rightarrow$ 先积后导 $$\begin{align}S(x) & =\left( \int \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}x^{n} ,\mathrm{d}x \right)’ \ & =\left( \sum_{n=1}^{\infty} \int a_{n}x^{n},\mathrm{d}x \right)’ \ & = S_{\mathrm{integral}}’(x) \end{align}$$

2. 若 $(an+b)^{c}$ 在分子上 $\Rightarrow$ 先导后积 $$\begin{align} S(x) & =\int_{a}^{x} \left( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}x^{n} \right)’ ,\mathrm{d}x \ & =\int_{a}^{x} \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n}x^{n})’,\mathrm{d}x \ & =\int_{a}^{x} S_{\mathrm{derivative}}(x),\mathrm{d}x \end{align}$$

3. 记得讨论收敛域