正项级数

定义

每项都 $> 0$ $$ \forall k, a_k>0 $$

由于通项恒大于 $0$ ，所以 $S_n$ 单调递增

所以如果 $S_n$ 有界，则级数收敛

已知正项级数 $\sum_{i=1}^{\infty}u_i$ 和 $\sum_{i=1}^{\infty}v_i$ 且从有限项开始，$u_i \le v_i$

已知正项级数 $\sum_{i=1}^{\infty}u_i$ 和 $\sum_{i=1}^{\infty}v_i$

记 $$A=\lim_{ i \to \infty }\frac{u_i}{v_i}$$

$A$	敛散性关系
$A=+\infty$	若 $\sum_{i=1}^{\infty}v_i$ 发散，则 $\sum_{i=1}^{\infty}u_i$ 也发散
$A=0$	若 $\sum_{i=1}^{\infty}v_i$ 收敛，则 $\sum_{i=1}^{\infty}u_i$ 也收敛
$0<A<+\infty$	$\sum_{i=1}^{\infty}u_i$ 和 $\sum_{i=1}^{\infty}v_i$ 同敛

aka 达朗贝尔判别法

已知正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 记 $$ \rho = \lim_{ n \to \infty } \frac{u_{n+1}}{u_{n}} $$

$\rho$	$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ 敛散性
$\rho<1$	收敛
$\rho>1$	发散

aka 柯西判别法

已知正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 记 $$ \rho=\lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ u_{n} } $$

$\rho$	$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ 敛散性
$\rho<1$	收敛
$\rho>1$	发散

比值审敛 & 根号审敛在 $\rho=1$ 的失效

比值审敛 & 根号审敛在 $\rho=1$ 时失效，无法判断敛散性

失效案例：调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$

已知正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$

存在函数 $f(x)$ 满足：

则