级数
- 级数：形如 $$\sum_{i=1}^{\infty} a_k$$
- 部分和：$$S_n=\sum_{i=1}^{n} a_k$$
审敛原理
充要原理
- 【柯西收敛原理】 $\forall\epsilon ,\exists N,\mathrm{s.t.},\forall n>N,p>1$ 满足 $$ \left|\sum_{i=n+1}^{n+p} a_i \right| < \epsilon$$
序列柯西审敛原理
$\forall \epsilon>0,\exists N>0 ,\mathrm{s.t.},\forall m,n>N$ 满足 $\left| a_m-a_n \right| < \epsilon$ 则序列 ${a_{n}}$ 收敛
- 【极限存在原理】 极限存在 $\Leftrightarrow$ 收敛
- $\forall\varepsilon$ $\exists N$ $\forall n>N$ s.t. $\left| a_{n} - A \right| < \varepsilon$
- 单调有界
- 【奇偶项原理】 $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}u_{n}$ 部分和序列为 ${S_{n}}$ 则 $\boxed{\displaystyle\lim_{ n \to \infty }S_{2n}=\displaystyle\lim_{ n \to \infty }S_{2n+1}=A}$ $\Rightarrow$ 级数 $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}u_{n}$ 收敛
必要原理
不满足以下原理可判断级数发散 满足以下原理不能判断级数收敛
- 【通项趋于0】 $$a_k \to 0 (k\to \infty)$$
同敛原理
- 【线性同敛】 对收敛级数进行线性运算，结果级数收敛，且等于原级数的线性运算结果
- 数乘
- 加减
- 【增删有限项同敛】 对级数增添/删除有限项，敛散性不变
- 【括号同敛】 收敛级数任加括号形成新级数，仍收敛
括号同敛易错
加括号后新级数收敛，不能反推原级数收敛。 e.g. $\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{n}$ 发散，但是奇偶项配对得到 $\sum_{i=1}^{\infty} (1-1)$ 收敛