Wallis 公式
$$ \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \sim \sqrt{ \pi n } \ (n\to \infty) $$ $$ \frac{(n!)^{2}2^{2n}}{(2n)!} \sim \sqrt{ \pi n } \ (n\to \infty) $$
Stirling 公式
$$ n! \sim \sqrt{ 2\pi n }\left( \frac{n}{e} \right)^{n} \ (n\to \infty) $$
Stirling 考场上可能比较难证，但有时并不需要精确的极限，只需要给出弱化不等式可以用于放缩证明敛散性/夹逼 $$\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} < \frac{n!e^{n}}{n^{n}} < n \cdot \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1}$$ work 的原因是 Stirling 就是在这个不等式的基础上证的 上面的不等式又可以直接这样证甩给改卷老师
$$ \begin{align} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n} & \lt e \lt \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} \ \Leftrightarrow \prod_{k=1}^{n} \left( 1+\frac{1}{k} \right)^{k} & \lt e^{n} \lt \prod_{k=1}^{n} \left( 1+\frac{1}{k} \right)^{k+1} \ \Leftrightarrow \frac{(n+1)^{n}}{n!} & \lt e^{n} \lt \frac{(n+1)^{n+1}}{n!} \end{align} $$