一次项
对于分解式的一次项及其任意幂 $$ \frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}{\frac{A_{ij}}{(x-b_i)^j}} $$ 每一项系数可如下分解： $$ A_{i1} = \lim_{x \rightarrow b_i}{(x - b_i) \cdot \frac{P(x)}{Q(x)}} $$ 更一般的高次形式： $$ A_{ij} = \frac{1}{(m-j)!} \lim_{x \rightarrow b_i}{\frac{d^{(m-j)}}{dx^{(m-j)}}\left( \frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \left( x-b_{i} \right) ^{m} \right) } $$
二次项
常规方法
待定系数。在一次项已知系数的情况下用待定系数难度降低。
复变速算
对于含二次项 $x^2+px+q$ ($\Delta=p^2-4q<0$) 分母的有理式：
- 待定系数
- 两边同乘二次项，把二次项移到分子
- 带入二次项复根
- 对比实部虚部得出系数
(例子·2019·考研·高数) 分解有理式 $\frac{3x+6}{(x-1)^2(x^2+x+1)}$ 记 $x^2+x+1=0$ 的一个实根为 $x_{0}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{ 3 }}{2}i$ 则有 $x_{0}^2+x_{0}+1=0$ $$ \begin{align} \frac{3x+6}{(x-1)^2(x^2+x+1)}&=\frac{A_{1}}{x-1}+\frac{A_{2}}{(x-1)^2}+\frac{Mx+N}{x^2+x+1} \ \frac{3x+6}{(x-1)^2(x^2+x+1)}&=\frac{-2}{x-1}+\frac{3}{(x-1)^2}+\frac{Mx+N}{x^2+x+1} \ \frac{3x+6}{(x-1)^2}&=\frac{-2(x^2+x+1)}{x-1}+\frac{3(x^2+x+1)}{(x-1)^2}+Mx+N \ \frac{3x_{0}+6}{(x_{0}-1)^2}&=\frac{-2(x_{0}^2+x_{0}+1)}{x_{0}-1}+\frac{3(x_{0}^2+x_{0}+1)}{(x_{0}-1)^2}+Mx_{0}+N \ \frac{3x_{0}+6}{(x_{0}-1)^2}&=Mx_{0}+N \ \frac{3x_{0}+6}{x_{0}^2+x_{0}+1-3x_{0}}&=Mx_{0}+N \ \frac{3x_{0}+6}{-3x_{0}}&=Mx_{0}+N \ -1-\frac{2}{x_{0}}&=Mx_{0}+N \ \sqrt{ 3 }i&=\frac{\sqrt{ 3 }}{2}Mi+\left( N-\frac{M}{2} \right) \end{align} $$ 得出： $$ \left{ \begin{align} M=2 \ N=1 \end{align} \right. $$