形式

已知

• 若干 $\int_{a}^{b} x^{k}f(x) , \mathrm{d}x$ 的值

求

• $\inf \displaystyle\mathop{\max}_{a<x<b}\left|f(x)\right|$

解法

构造

$$ \begin{align} \mathrm{val} & =\left|\int_{a}^{b} P_{k}(x)f(x) , \mathrm{d}x \right| \ & \leq \int_{a}^{b} \left|P_{k}(x) f(x) \right|, \mathrm{d}x \ & \leq \max\left|f(x)\right|\int_{a}^{b} \left|P_k(x)\right| , \mathrm{d}x \end{align} $$

从而

$$ \max\left|f(x)\right|\geq \frac{\mathrm{val}}{\min\int_{a}^{b} \left|P_{k}(x)\right| , \mathrm{d}x } $$

其中

$$ P_{k}(x)=\sum_{k=1}^{n} a_{k}x^{k} $$

可以

• 注意力直接得到每项系数
• 设参数，对参数求导求最紧参数