第一积分中值定理

已知：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续

结论：$\int_a^b f(x)\ dx=f(\xi)(b-a)$

第一积分中值定理推广

已知：$f(x)$，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 上不变号

结论：$\int_{a}^{b} f(x)g(x) , dx = f(\xi)\int_{a}^{b} g(x) , dx$

证明：对 $\int_{a}^{b} f(x)g(x) , dx$ 和 $\int_{a}^{b} g(x) , dx$ 应用柯西中值定理

第二积分中值定理

已知

• 函数 $f\in C[a,b]$
• 函数 $g\in C[a,b]$
  • $g’\in R[a,b]$
  • $g’$ 在 $[a,b]$ 不变号 则存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $$ \int_{a}^{b} f(x)g(x) , \mathrm{d}x = g(a)\int_{a}^{\xi} f(x) , \mathrm{d}x + g(b) \int_{\xi}^{b} f(x) , \mathrm{d}x $$