有限
当被积式有因式可导尽，为有限情形，表格法如下
- 被积函数分两个部分，写成两行，上导下积
- 第一行从第一列开始，每列与右下角相乘，正号开始，正负交替
- 上行导到 $0$ 为止
- 各乘式相加
重现
当被积式分部积分可重现，为重现情形，表格法步骤如下
- 【列表格】被积函数分两个部分，写成两行，上导下积
- 【对角相乘】第一行从第一列开始，每列与右下角相乘，正号开始，正负交替
- 【积分余项】当最后一列上下相乘，符号与 2. 规则一致，对其求积分作为余项
- 【积分重现】若余项与被积式有线性关系，把余项与被积式合并，系数乘到右边
欲求 $$\int e^{ax}\sin bx$$
- 列表格
| 上导 | $\sin bx$ | $b\cos bx$ | $-b^{2}\sin bx$ | | — | ——— | ——————- | ———————– | | 下积 | $e^{ax}$ | $\frac{1}{a}e^{ax}$ | $\frac{1}{a^{2}}e^{ax}$ | 2. 对角相乘 $$(+1)\cdot\sin bx\cdot \frac{1}{a}e^{ax}+(-1)\cdot b\cos bx\cdot \frac{1}{a^{2}}e^{ax}$$ 3. 积分余项 $$\int(+1)\cdot(-b^{2}\sin bx\cdot \frac{1}{a^{2}}e^{ax}),\mathrm{d}x$$ 4. 积分重现 $$\begin{align}\int e^{ax}\sin bx,\mathrm{d}x & = \sin bx\cdot\frac{1}{a}e^{ax}-b\cos bx\cdot\frac{1}{a^{2}}e^{ax}-\frac{b^{2}}{a^{2}}\int e^{ax}\sin bx,\mathrm{d}x\\left( 1+\frac{b^{2}}{a^{2}} \right)\int e^{ax}\sin bx,\mathrm{d}x & =\sin bx\cdot\frac{1}{a}e^{ax}-b\cos bx\cdot\frac{1}{a^{2}}e^{ax}\ \int e^{ax}\sin bx,\mathrm{d}x & =\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}\left(\sin bx\cdot\frac{1}{a}e^{ax}-b\cos bx\cdot\frac{1}{a^{2}}e^{ax}\right)\ \int e^{ax}\sin bx,\mathrm{d}x & = \frac{1}{a^{2}+b^{2}}(ae^{ax}\sin bx-be^{ax}\cos bx) + C \end{align}$$
这与 指数三角乘积特殊积分的の快速求解 中的结论一致