约定
- 点 $P_{k}(x_{k},y_{k},z_{k})$
- 线 $l_{k}:\ \frac{x-x_{k}}{m_{k}}=\frac{y-y_{k}}{n_{k}}=\frac{z-z_{k}}{p_{k}}$
- 方向向量 $\vec{v_{k}}=(m_{k},n_{k},p_{k})$
- 直线上任一点 $A_{k} \in l_{k}$
- 面 $\pi_{k}:\ A_{k}x+B_{k}y+C_{k}z+D_{k}=0$
- 法向量 $\vec{n}=(A_{k},B_{k},C_{k})$
- 平面上任一点 $Q_{k} \in \pi$
- 投影：投影在 $Y$ 上的 $X$ 记作 $X’_{Y}$ abbr. $X'$
- 点在线上投影：$P’_{l}(x’,y’,z’)$
- 点在面上投影：$P’_{\pi}(x’,y’,z’)$
- 线在面上投影：$l’_{\pi}:\ \frac{x-x’}{m’}=\frac{y-y’}{n’}=\frac{z-z’}{p’}$
交集
联立方程即可。
- 线线：各分量相等 e.g. $\frac{x-x_{1}}{m_{1}}=\frac{x-x_{2}}{m_{2}}$
- 线面：直线参数方程法
- 面面：主元法
距离
- 点点：$d(P_{1},P_{2})=\sqrt{ (x_{1}-x_{2})^2 + (y_{1}-y_{2})^2+(z_{1}-z_{2})^2 }$
- 点线：$d(P,l)=\frac{\left| \vec{AP}\times \vec{v} \right|}{\left| \vec{v} \right|}$
- 点面：$d(P_{0},\pi)=\frac{\left| Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D \right|}{\sqrt{ A^2+B^2+C^2 }}$
- 线线：$d(l_{1},l_{2})=\frac{\left| \vec{A_{1}A_{2}} \cdot (\vec{v_{1}}\times\vec{v_{2}}) \right|}{\left| \vec{v_{1}}\times \vec{v_{2}} \right|}$
- 线面：$d(l_{0},\pi)=\frac{\left| Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D \right|}{\sqrt{ A^2+B^2+C^2 }}$
- 前提：线面平行 $\leftrightarrow$ $Am_{0}+Bn_{0}+Cp_{0}=0$
- 面面：$d(\pi_{1},\pi_{2})=\frac{\left| D_{1}-D_{2} \right|}{\sqrt{ A^2+B^2+C^2 }}$
投影
点点- 点线：${P_{0}}’_{l}=A+\frac{\vec{AP}\cdot \vec{v}}{\left| \vec{v} \right|^{2}}\vec{v}$
- 点面：${P_{0}}’_{\pi}=Q+\frac{\vec{AP}\cdot \vec{n}}{\left| \vec{n} \right|^{2}}\vec{n}$
- 线面：$\vec{v’_{\pi}}=\vec{v}-\frac{\vec{v}\cdot \vec{n}}{\left| \vec{n} \right|^{2}}\vec{n}$
- 标准点可取交点，用参数方程联立直线和平面
投影向量
$\vec{v}$ 在 $\vec{n}$ 上的投影向量 $\vec{v’_{\vec{n}}}=\frac{\vec{v}\cdot \vec{n}}{\left| \vec{n} \right|^{2}}\vec{n}$