变换准则
对于 $\left( x_{1},x_{2},\dots,x_{n} \right) \to (y_{1},y_{2},\dots,y_{n})$
且存在函数关系： $$ \begin{align} x_{1}&=x_{1}(y_{1},y_{2},\dots,y_{n}) \ x_{2}&=x_{2}(y_{1},y_{2},\dots,y_{n}) \ &\dots \ x_{n}&=x_{n}(y_{1},y_{2},\dots,y_{n}) \end{align} $$ 则： $$ dx_{1}\cdot dx_{2}\cdot\dots\cdot dx_{n}=\det J\cdot dy_{1}\cdot dy_{2}\cdot\dots\cdot dy_{n} $$ 其中 $$ J=\frac{D\left( x_{1},x_{2},\dots,x_{n} \right) }{D\left( y_{1},y_{2},\dots,y_{n} \right) } $$
常见坐标变换
温馨提醒
以下坐标变换均为直角坐标系转为对应坐标系
| 自由度 | 坐标系 | 转换形式 | 转换结果 | 雅可比行列式 |
|---|---|---|---|---|
| 二元 | 极坐标系 | $(x,y)\to(r,\theta)$ | $dx\cdot dy=r\cdot dr\cdot d\theta$ | $\det J=r$ |
| 三元 | 柱坐标系 | $(x,y,z)\to(r,\theta,z)$ | $dx\cdot dy\cdot dz=r\cdot dr\cdot d\theta\cdot dz$ | $\det J=r$ |
| 三元 | 球坐标系 | $(x,y,z)\to(\rho,\phi,\theta)$ | $dx\cdot dy\cdot dz=\rho^{2}\sin \theta\cdot d\rho \cdot d\phi\cdot d\theta$ | $\det J=\rho^{2}\sin \theta$ |
球坐标系的 $\phi$ vs. $\theta$
球坐标系中的 $\phi$ 和 $\theta$ 并不等价。
- 方位角 $\phi \in \left( 0,2\pi \right)$ $:=$ 坐标向量在 $xy$ 平面的投影与 $x$ 轴正方向的逆时针的偏移角
- 极角 $\theta \in \left( 0, \pi \right)$ $:=$ 坐标向量与 $z$ 轴正方向的夹角